venerdì 19 settembre 2008

Pensieri periodici

1:3= 0,3333333333333333333333333333333333... è un numero periodico, e wikipedia insegna che è "un numero in cui una parte della sua parte decimale si ripete indefinitamente. Ogni numero di questo tipo è razionale e può essere rappresentato mediante una frazione".
Oh, meno male, 1/3, risparmiati tempo e fatica!
Ma da dove vengono tutti quei tre dopo la virgola? Allora, cerco di capirci qualcosa: il primo tre dopo la virgola sono tre decimi, il secondo tre è tre centesimi, il terzo tre millesimi e così via.
Se ora moltiplico tutto per tre verrebbe così:
3x0,3= 0,9
3x0,03= 0,09
3x0,003= 0,009
e se continuo e li sommo tra loro viene fuori 0,999, ma potreri continuare a moltiplicare e poi a sommare... verrebbe fuori un'altra catena infinita. Ma qui c'è un'altra cosa che non torna, perchè tre volte un terzo dà un intero cascasse il mondo!!! E' come se mancasse qualcosa. 0,9999999999999999 è rappresentabile con 0,(9). E' quasi 1, ma non completamente! Per scoprire che razza di numero è, potrei ricorrere alle frazioni, ma dato che stavolta 1/9 non funziona, perchè 1:9=0,1111111111111111111111111111... oppure 0,(1).

allora dovrò usare la regola per tornare alla frazione generatrice di un numero decimale periodico, che recita così:

1. scrivere il numero senza virgola: 0,(9) = 09

2. sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo: 9-0=9

3. scrivere, sotto la barra della divisione, un 9 per ogni cifra del periodo ed uno 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo: 9/9

Ecco la frazione generatrice di quel numeraccio, ma attenzione 9/9= 1 quindi quel numeraccio, cioè 0,(9) equivale a 1? La risposta è si, ok mi riesce difficile crederci, ma devo ammetterlo, non posso negare l'evidenza. Avevo un'idea sbagliata! Ma allora dove va a finire la corrispondenza biunivoca tra i numeri e le rappresentazioni di essi?

giovedì 4 settembre 2008

I numeri primi

Esistono numeri che si possono dividere e altri no, e questi ultimi sono molto più affascinanti! Già perché rappresentano dei principi, delle vere autorità con cui si sono scontrati tanti matematici per anni. Certo per conoscerli si può visitare questa lunga lista, sì ma tradizione vuole che li si trovi da soli magari utilizzando questa simpatica formula di Euclide:
Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo.

Beh, per un pò la regola vale, ma già dal num.7 mi sembra che le cose non stiano proprio così...cominciano a vacillare per poi riprendere e vacillare di nuovo! Certo è, che la riflessione su questa formula ha fatto sì che nascessero i numeri gemelli,
Sono gemelli ad esempio 5 e 7, 11 e 13, 41 e 43, 821 e 823.

Un altro modo per scoprirli (se proprio non vogliamo usare la lista) sarebbe quello di eliminare mentalmente tutti i numeri pari (il 2 no) e tutti i numeri che seguono dalle tabelline. Con questo giochino si riescono a scoprire un bel pò di numeri primi, almeno fino a 100, poi possiamo aiutarci con la buona calcolatrice.
Certo abbiamo dei trucchetti che possono sempre dare una mano con i numeri grandi: se prendi un numero pari (superiore a 2) a caso è sempre la somma di due numeri primi.

ES. 56= 5+51
e pare funzioni sempre perchè... non si sa! ma il trucco funziona anche con i numeri dispari, basta siano superiori a 5 però ne servono 3.

ES. 55= 5+19+31

Ma davanti a 949874325136206? Come la mettiamo? é numero primo o no? C'è da rompersi la testa? C'è mica un programmino in grado di calcolarlo? No! Quello che posso dire qui è che i più grandi matematici hanno provato e riprovato con tentativi e congetture e che la più grande coppia di primi gemelli nota è 2003663613 · 2^195000 ± 1, un record raggiunto unendo le forze tra Francia, Italia, Ucraina, USA e Lituania. Ma è proprio il loro mistero a renderli così affascinanti e a spingerci a trovare dei trucchetti per scovarli...altrimenti che gusto ci sarebbe???